Т.Бонч-Осмоловская
Раймон Кено: писатель-математик
Раймон Кено (1903-1976) более известен как писатель и поэт, автор более десятка романов и нескольких сборников стихотворений, руководитель авторитетного французского издательства Галлимар. Менее известны его математические и «около-математические» работы. Не будучи профессиональным математиком, он, однако, состоял во Французском (с 1948 г.) и Американском (с 1962 г.) математических обществах. О том, насколько много Р.Кено занимался наукой, пишет его друг, французский математик Франсуа Ле Лионне[1]: «У меня было ощущение, что он дня своей жизни не проводил без математики, и в чем я готов поклясться – что не было ни недели, когда бы он ни размышлял над ней, больше или меньше». Хотя строго научная работа у Р.Кено всего одна, лежащая в области теории чисел и опубликованная во французском и, более подробно, в американском математическом журнале[2], ему принадлежит ряд менее серьезных, игровых, или более серьезных, философских, произведений, о некоторых из которых пойдет речь ниже.
Р.Кено считал математику в первую очередь – реальной, объективной, более родственной естественным наукам, чем обычно принято ее находить. В романе «Одиль»[3] он писал, что «геометрию и анализ величин нужно сравнивать не с архитектурой (построенной людьми), а с ботаникой, географией, даже с физическими науками»[4]. Он считал, что числа являются не человеческой выдумкой: «…есть реальность, которая превыше нашего ума, которую мы не можем выразить средствами языка, изобретенного нашим разумом…», - говорит он, и там же: - «Числа – реальность! Числа существуют»; «Математика, это наука, сходная с ботаникой и этнографией. Здесь исследуют, а не создают»[5].
В математике Р.Кено интересовало то, что казалось бы лежит на поверхности – головоломки, занимательная математика (по Мартину Гарднеру), теория чисел, теория групп и умножение матриц, которые также не требуют очень сложных специальных знаний.
Так, некоторое время Р.Кено, по свидетельству Ле Лионне, занимался изобретенным им классом чисел, которые можно назвать «гиперпростыми». Напомним, что простыми числами называются такие, что не имеют делителей, кроме единицы и самих себя, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Кено же определял число как «гиперпростое слева» (и, соответственно, справа), если из простого числа, записанного десятичными знаками, при последовательном отбрасывании одной и больше цифр слева (и, соответственно, справа) также образуется простое число (принимая для удобства единицу за простое число). Например, число 17 в этом смысле является одновременно гиперпростым слева (7) и справа (1). Наибольшее найденное Кено гиперпростое число справа: 1979339339, слева: 12953, одновременно слева и справа – 3 137.
Такое определение кажется совершенно бессмысленным: непонятно, имеют ли гиперпростые числа какой-либо «физический смысл», т.е. могут ли они где-нибудь кому-нибудь понадобиться. Но, вообще говоря, многие математические открытия первоначально делались «просто так», без всякой практической цели, и даже преднамеренно бесцельными. Что не мешало им позже становиться социально значимыми, даже лежащими в основании некоторой области науки или технологии[6]. И если «гиперпростые» числа Р.Кено кажутся сегодня не более чем выдумкой, может статься, завтра они станут основой некой неведомой науки.
А может статься, и не станут. Их красота, а красота присуща, по Р.Кено, всем числам без исключения[7], от этого не исчезнет.
«Что он
находил в математике, - указывал Ф.Ле Лионне, – эта комбинация, которой нет ни
в какой области человеческой деятельности – смелость и интеллектуальный экстремизм,
восторженная фантазия и безжалостная строгость. И также та гамма эмоций, которая
проходит от витания в облаках, через коллекцию несовершенных достопримечательностей,
до созерцания могучей целостности».
Опубликованная в дневниках Кено «Моя жизнь в цифрах»[8] является просто забавным, как все у Кено – талантливым, рассказом из жизни арифмомана, подсчитывающего все, от количества (и химического состава) съеденной пищи (с усреднением за 145 дней 11 часов 50 минут) до количества «особ женского пола», которых ему удалось закадрить (271 – за то же время? «за все существования с момента рождения»?), и которые закадрили его (538). И, по крайней мере, отправная его точка является автобиографичной, ибо имя и фамилия главного героя также состоят из семи букв, как и у самого Кено (Проспер Рамболь – Раймон Кено (Raymond Queneau)).
«Некоторые краткие замечания относительно аэродинамических свойств сложения»[9] (прил. 1) также является шуткой, объединяющей две, казалось бы, совершенно различные области: сложение натуральных чисел (2+2=?) и аэродинамику, вносящей влияние такого физического явления, как ветер, в абстракцию арифметики[10]. Это объединение или, может быть, столкновение, и порождает «патафизическое» открытие Кено: 2+2=5. И здесь читателю предоставляется возможность задуматься над природой чисел, существованием их в мире сущностей и применимости к ним законов этого сущностного мира.
Известно, что в 20-е годы
Р.Кено состоял в кружке сюрреалистов, возглавляемом А.Бретоном, проповедовавшем
спонтанное, интуитивное, неподвластное воле автора творчество, но позже,
разойдясь с сюрреалистами, Р.Кено стал убежденным и последовательным
сторонником строгого формального подхода к литературному процессу.
Вершиной такой, высокоструктурированной литературы стали теоретические
и практические работы объединения УЛИПО, образованного Р.Кено и Фр.Ле Лионне в 1960 г.. Члены объединения сошлись в стремлении
работать над литературными головоломками, игре с языком – буквами, звуками и
словами, создавая произведения, стоящие на строгом научном фундаменте.
Этот поиск фундамента, основ творчества может быть долгим и трудным, и не всегда результативным. Герой романа Р.Кено «Одиль», математик-самоучка Трави занимается вычислениями по десять часов в день, «бороздя бесплодную землю, прилежно и упрямо, как бык и осел в одном лице» [11].
В момент кризиса герой так описывает свое времяпрепровождение: «Я занимался расчетами расчетов, бесцельными, бесконечными и чаще всего совершенно бессмысленными. Я пьянел от цифр, и принимал это за математику! Я был вычислительной машиной, которая сбивалась со счета»[12]. (Вспомним арифмомана Проспера Рамболя из рассказа «Моя жизнь в цифрах».)
Трави, как и его создатель, Р.Кено, работает в области теории чисел, в которой новую гипотезу доказать нелегко. Множество открытий, казалось бы, лежат здесь на поверхности, как драгоценные камни или перламутровые ракушки на каменистом берегу, но вместе с тем теория чисел как раз характеризуется обилием высказываемых предположений, которые только впоследствии, зачастую спустя много лет, оказываются доказанными или же опровергнутыми[13]. Некоторые из таких, даже ложных, предположений весьма правдоподобны и красивы, и событием в математическом мире становится как его высказывание, так и доказательство его несправедливости.
До конца проверить гипотезу в теории чисел довольно трудно, опровержение зачастую находится, по метафоре Кено, в области очень больших чисел, «во много, много раз превышающих количество восходов Солнца за пять миллиардов лет существования Земли»[14].
Следуя за рядом математиков-аксиоматизаторов, начиная с Евклида и до Пеано, Гильберта, Эммы Нетер и Бурбаки, зыбкому песку непроверенных предположений Р.Кено предпочитает твердый фундамент постулатов и аксиом, на которых затем, с помощью одной безупречной логики, заново строится все научное здание. Р.Кено не хочет выдвигать не проверенных до конца гипотез, считая, что «высказывание непроверенных предположений есть не что иное, как проявление собственного тщеславия»[15].
Не будучи
математиком-интуитивистом, Р.Кено не высказывает утверждений, которые не может
доказать. За исключением только одного: разобрав в статье
«Ложные предположения в теории чисел» ряд случаев, когда идея великого
математика оказывается ложной, Р. Кено задается вопросом – если нет общей схемы
доказательств, если методы математической индукции не срабатывают, а
большинство прочих доказательств верно только для ограниченного ряда чисел,
тогда как опровержения высказываемых предположений обычно следуют в области
чисел очень больших, то не является ли такая ситуация чем-то большим,
чем набором занимательных анекдотов из истории математики, «не имеет ли данная
ситуация в глубоком основании теорему неполноты Геделя: невозможно (сегодняшними
методами) получить что-либо другое, кроме «фрагментов» теории чисел. Что есть
не что иное, как с моей стороны, одно простое предположение»[16].
Таким образом, не делая
частных предположений относительно бесконечных последовательностей,
рекуррентных формул и прочих интуитивных, и, следовательно, опровергаемых
теорем, Р.Кено высказывает идеальную теорему из области метатеории целых чисел
– на сегодня ее целостную теорию составить невозможно.
А коли построение полной, от
фундамента строгих аксиом до самой высокой теоремы, теории невозможно,
современным математикам остается довольствоваться лишь ее «фрагментами»,
поиском отдельных красочных осколков этой «фрагментарной» теории.
Творчество, любое творчество, и математическое, и поэтическое, по Р.Кено, начинается с аксиоматизации (может быть, долгой и трудоемкой). Аксиоматизация же сродни течению эволюции, когда человек, «выбирающий» руку с тонкими пальцами и голую ногу, а не лапу с когтями и ногу с копытом, каждый раз «выбирает» решение, которое вредит ему немедленно, но быстро приводит к увеличению могущества. «В некотором роде человек, (здесь – аксиоматизирующий математик), обедняет себя, обнажаясь до экстремума (до аксиом, которые кажутся на первый взгляд лишенными всякого значения), чтобы затем приобрести наибольшую разнообразность эффективного поведения, получая огромное количество следствий и легко доказываемых теорем из этих аксиом»[17]. В этой системе образов математик (писатель, художник)-интуитивист вооружился бы как раз средством, сулящим мгновенное преимущество (острый коготь, вооруженная твердым копытом нога), но вскоре проиграл бы, освоив ситуацию лишь поверхностно, интуитивно, по сравнению со спускающимся до оснований математиком (писателем, художником)-аксиоматизатором.
В отличие от наивной систематизации аксиоматизация, как настоящая наука, «объединяет вместе не четвероногих, но выделяет более глубокие, невидимые профану сходства»[18]. Так, с наивной точки зрения овал ближе к кругу, чем парабола и гипербола, однако именно эти последние объединяются, вместе с эллипсом, общим понятием конических сечений.
Но само знание основ науки происходит, и в этом еще одно убеждение и отличительная черта Р.Кено, в игре – в занимательной математике ли, шутке, парадоксе, загадывании загадок. Математика, литература, игра для Кено тесно слиты, в чем можно убедиться из анализа его работ, посвященным размышлениям о месте математики в системе наук, а также в системе Наука – Искусство – Игра – Технология – Поэзия[19].
По Кено, по отношению к
математике все науки проходят четыре стадии: эмпирическую, когда накапливаются
факты, экспериментальную, когда производятся измерения, аналитическую, когда
они осмысливаются, и аксиоматическую, когда делаются выводы. И математика
вырастает от арифметики на первой стадии
до метанауки (по Гильберту), или математической логики, на четвертой, последней
на сегодняшний день стадии развития науки. Но логика – это, по Кено, скорее,
«наука о «мысли» и искусство «мысли»». И как наука о мысли она сближается с
одной стороны, с психологией, а с другой – с искусством.
Также мы видим, продолжает Кено, приводя в доказательство своих слов множество фактов, что «физико-химия стремиться математизироваться, и тем самым, оказаться внутри математики, биология оказаться внутри физико-химии, а антропология, включая и психологию – внутри биологии». Итак, получается двойное движение по всей шкале: психология, которая есть та же логика, неким круговым путем, от самой низшей точки, разворачивается к самой высшей – к аксиоматизации. «Существо логики двойное, если мы увидим в ней догматику, мы обогнем совокупность наук и замкнем окружность»[20].
Система наук, таким образом, является не линейной, иерархической (математика-физика-биология-антропология), но круговой, замкнутой. Р.Кено отвечает Галилею, утверждавшему, что мир записан на языке математики: «Логико-математический ансамбль не может быть рассмотрен ни как адекватный язык и потребность конкретной науки, ни как одна из наук. На самом деле, эта и есть сама Наука» – и круг замкнулся. Современная математика, понимаемая как логико-математический ансамбль, не есть язык науки. В конечном счете, по Кено, различные науки неизбежно приходят (пришли, придут) к математизации (или «логикаизации»), и все науки в конце концов неизбежно вольются, если еще не влились, в сферу Математики, образуя единое тело: гармоничное, аксиоматическое здание Науки, – красивое, поскольку четкое и стройное, и полезное, поскольку техничное. Тогда математика наконец «становится Математикой, которая есть одновременно и действующий орган, и способ восприятия»[21].
Идеальная современная наука, в понимании Р.Кено, дана не как знание, а как правило и метод. А в математике не известно ничего, кроме метода, который начинается с выстраивания системы постулатов, чтобы строить доказательства, и «этот метод есть также игра, что очень точно называется игрой ума»[22].
И серьезная, строгая аксиоматизация оказывается вовсе не такой уж строгой и скучной. Строгая формализация, аксиоматизация (математики, науки, литературы) не делает их занудным повторением невнятных тавтологий, «скучным и трудным вздором», а, напротив, превращает ее в игру. В математику можно играть, как это и делают эпатирующие «серьезных» ученых Бурбаки. Правила (аксиомы, система соглашений), как считает Р.Кено, роднят науку с игрой, с бриджем или шахматами.
И тогда вся наука «становится не более чем Техникой (методом) и Игрой, то есть представляет себя как другая человеческая активность – Искусство»[23], а ее будущая польза и внутренняя красота как раз и являются теми особенностями, которые роднят математику с искусством, «приближают его к искусству и отличают от него»[24].
Их отношения, по Кено, таковы: «Наука, взятая как знание, находится в той же ситуации, что и Искусство, которое тоже иногда хотят выдать за вид знания: обе они воображаемы, в то время как игра – действительна, а техника – эффективна». Научное знание, знание («правда») искусства есть объекты воображаемые, а действительна лишь игра, и эффект (практическая польза) получается лишь от техники, понимаемой здесь как метод (школьники, овладевшие методом с помощью Бурбаки, сразу справлялись с труднейшими математическими задачами, как с простыми упражнениями). Не следует серьезно относиться к пустым вещам (здесь – к научному «знанию»), считает Р.Кено, серьезна только игра, ибо только она и существует: мы договорились только о правилах, бриджа ли, математики ли, и по этим правилам и будем играть, когда в математику, а когда в поэзию.
Но найдется ли в этой сферической системе наук и технологий место поэзии? Такая, инкорпорированная во все, в том числе, и в общественные науки (антропологию, психологию) математика, неизбежно приводит к новым уровням контактов между наукой и литературой, игнорировать этот факт литература не может. Для Р.Кено поэзия не может остаться в стороне: «Совершенно ясно, что ничто не может помешать поэзии, без потери ее специфичности, занять место в центре»[25], поэт занимает место в центре науки.
Математика является не «языком, на котором записан мир», но не более, чем методом записи мира, записи, осуществляемой поэтом, но и не менее, чем всем этим миром, и поэзия – центр его.
Для Р.Кено чрезвычайно значимой является фигура Малларме. Дважды (!) в дневниках[26] он цитирует фразу поэта из его проекта диссертации по языку (1869): «… Наконец обо мне – и о математическом языке… Мы не поняли Декарта, или поняли его превратно, но он создал французских математиков. Нужно продолжить его движение учить наших математиков…».
Круг снова замыкается – поэт учится математике и поэт учит математиков.
Теперь можно рассмотреть последнюю, опубликованную посмертно, работу Р.Кено «Основания литературы после Давида Гильберта»[27] (см. прил. 2). Работа эта возникает чрезвычайно просто: из аксиом Гильберта простой транспозицией, заменой основных геометрических понятий (точки, прямые, плоскости) на понятия филологические (слова, фразы, параграфы) получается текст, который можно назвать «Новой поэтикой» – основными законами построения литературного произведения.
Есть ли в «Основаниях литературы» Р.Кено амбиция «математизировать» поэзию? Для этого надо было бы всерьез полагать, что для двух данных слов (аналогично двум точкам на плоскости) можно составить одну и только одну фразу (как прямую), их содержащую; что употребление в двух параграфах общего слова требует употребления еще одного общего слова; что фраза (аналогично прямой) содержит бесконечное число слов (как прямая – точек), и т.д. Разумеется, можно принять эти законы как жесткие правила построения литературного произведения (почему нет? правила как правила, пусть они станут основания новой («кеновой»), взамен аристотелевой, поэтики) и обязать писателей в будущем им следовать.
Но скорее – это та самая шутка, в которой есть доля шутки, и цель заключается не в переводе литературы на математические основания, а – в переодевании, в маскараде, когда математическое платье надевается на тело литературного языка, или платье литературы – на математическое тело.
Читатель, немного знакомый с математикой и поэтикой, видит одновременно два текста, словно стереокартинку сквозь красное и синее стеклышко – узаконенные математические постулаты и предлагаемые постулаты литературные. Удовольствие получается от игры, от виртуозности автора, когда он, трактуя свои «литературные постулаты», мастерски переходит между этими двумя текстами, жонглируя то логическими операциями (принадлежности, пересечения, соответствия), то ссылками на знаменитые литературные произведения («В поисках утраченного времени» М.Пруста), а то соотносится с параллельными математическими утверждениями (см. комм. к теореме 1). В результате тексты не сливаются, не превращаются в одно серое произведение, один не становится частью другого, а продолжают существовать раздельно, искрясь всполохами неожиданных контактов в мостиках, переброшенных через параллельные бесконечности.
В этой работе одновременно звучат два голоса, поющие каждый на своем языке, причем языки эти, совпадая фонетически, семантически различаются, но слушатель, благодаря их фонетическому совпадению, может слышать эти голоса одновременно[28].
Все вышесказанное позволяет сделать вывод о целостности творчества Р.Кено, тождества его подхода как к математическим исследованиям, так и литературному творчеству, причем сам его отказ от интуитивного является не случайным, а основан на глубоком понимании логико-математических закономерностей. Причем, видимо, можно говорить, что осознание неприятия интуитивного в математике и в литературе происходит у Кено одновременно – в романе «Одиль», знаменующем разрыв с сюрреалистической группой А.Бретона, персонаж Р.Кено Трави декларирует свой формалистический подход к математическим проблемам, подход, который будет позже только углубляться теоретически (знакомство с современной формалистической математикой по Бурбаки) и практически (работы УЛИПО).
Долгая и тщательная предварительная работа и следующий за ней неожиданный, простой и совершенный результат роднят Р.Кено с китайским философом Чжуан Цзы, притчу о котором приводит член объединения УЛИПО Итало Кальвино в лекции «Красота»: однажды князь заказал Чжуан Цзы рисунок краба. Философ удалился на год в хижину для размышлений. Когда через год посланник князя пришел за рисунком, тот все еще не был начат. И еще через год Чжуан Цзы, погруженный в размышления о природе краба, так и не приступил к рисованию. Но в один день он поднялся, взял в руки кисть и одним движением изобразил такого совершенного краба, что его можно было спутать с настоящим.
Приложение 1
РАЙМОН КЕНО
Некоторые замечания относительно
аэродинамических свойств сложения.
Пер. Т.Б.-О.
Во всех сделанных до настоящего времени попытках доказать, что 2+2=4, никогда не была принята во внимание скорость ветра.
Сложение целых чисел на самом деле возможно только в достаточно спокойную погоду, для которой, если взять первую цифру 2, она остается на месте до тех пор, пока к ней не приставят маленький крестик, после чего вторую цифру 2, потом маленькую стенку, на которую можно присесть, чтобы подумать, и, наконец, результат. Потом ветер может и подуть, два и два уже сделались равными четырем.
Если ветер
начинает возрастать, то первое число вскоре оказывается на земле. Когда он
крепчает далее, он валит и второе. Какой будет тогда величина:
=
Современные математики не могут нам ответить.
Когда ветер доходит до бешеного, он уносит сначала первую цифру, потом маленький крестик, и затем последующую цифру. Но если предположить, что ветер прекратился сразу после исчезновения маленького крестика, можно оказаться перед абсурдной записью:
2 = 4
Ветер не только уносит, он также и приносит. Единица, число особенно легкое, которому достаточно слабого бриза, чтобы его сдвинуть, может снова попасть в сумму, в которой она уже участвовала, без ведома самого складывающего. Были, следовательно, основания для интуиции русского математика Достоевского, осмелившегося заявлять, что он имел пристрастие к 2+2=5.
Законы десятичного счисления равным образом доказывают, что индусы должны были, вероятно, более или менее бессознательно сформулировать нашу аксиому. Нуль катится с легкостью, он чувствителен к малейшему ветерку. Таким образом, его можно не удерживать при подсчете, когда он помещен слева от числа: 0 2 = 2, ибо нуль всегда исчезает еще до конца операции. Он становится значимым только справа, в случае, когда предыдущие цифры могут его удержать и помешать ему укатиться. Вот почему получают 2 0 = 2, пока ветер не превзойдет нескольких метров в секунду.
Можно сделать несколько практических следствий из наших рассуждений: начиная с некоторой величины атмосферных пертурбаций, сложению следует придавать аэродинамическую форму. Равным образом мы советовали бы писать справа налево и начиная насколько возможно близко к краю листа бумаги. Если ветер заставляет ускользать текущую операцию, ее почти всегда можно будет уловить, до того как она достигнет края. В итоге мы приходим, как и в случае с полуденной бурей, к следующему результату:
=
Приложение 2
РАЙОН КЕНО
Основания Литературы после Давида Гильберта
Пер. Т.Б.-О.
После того, как Давид Гильберт ассистировал в Алле на конференции Винера (не Норберта, разумееется) о теоремах Дезарга и Папюса, он, ожидая на Берлинском вокзале поезда в Кенингсберг, задумчиво бормотал: «На месте точек, прямых и плоскостей, могли бы столь же хорошо смотреться слова – столы, стулья и кубки». Из этого размышления родилась работа «Основания геометрии», вышедшая в свет в 1899, в которой ее автор устанавливает по определенному способу аксиоматику евклидовой геометрии и сверх того некоторых других.
Вдохновленный этим выдающимся примером, я представляю здесь аксиоматику литературы, замещая в предложениях Гильберта слова «точки», «прямые», «плоскости» соответственно на «слова», «фразы» и «параграфы».
«Основания геометрии» к настоящему времени переведены на французский (Полем Росье, Paul Rossier, Dunod, Paris, 1971), читатель может легко соотнестись с первоначальными формулировками. Напомним, что Гильберт выделяет пять групп аксиом: принадлежности, порядка, конгруэнции, параллельности и непрерывности.
Первая группа аксиом (аксиомы принадлежности)
1.1. Существует фраза, содержащая два данных слова.
КОММЕНТАРИЙ. Очевидно. Пример: пусть два слова будут «la» и «la». Существует фраза, содержащая эти два слова: le violoniste donne le la a la cantatrice (скрипач задает ноту «ля» певице).
1.2. Существует не более одной фразы, содержащей два данных слова.
КОММЕНТАРИЙ. Это утверждение, напротив, может поразить читателя.
Однако если задуматься над такими словами, как «долгое время» и «ложиться спать», становится очевидно, зная однажды написанную фразу, их содержащую: «долгое время я ложился спать рано», что все другие выражения, такие как: «долгое время я ложился спать ранним вечером» или «долгое время я не ложился спать поздно» будут только псевдо-фразами, что и убеждает в справедливости настоящей аксиомы.
СХОЛИЯ. Естественно, если «долгое время я ложился спать ранним вечером» – это «долгое время я ложился спать рано», то аксиома 1.2 неверна. То есть, нельзя дважды написать «В поисках утраченного времени».
1.3. Фраза
содержит по меньшей мере два слова; существует по
крайней мере три слова, не принадлежащие все вместе одной и той же фразе.
КОММЕНТАРИЙ. Не существует, следовательно, фраз из одного слова. «Да», «нет», «э-э», «гм-м» – не являются фразами. Во второй части аксиомы предполагается, следовательно, что используемый язык состоит, по крайней мере, из трех слов (тривиальное утверждение в случае французского языка) и что, с другой стороны, исключается возможность, что найдется фраза, которая содержала бы ВСЕ слова языка (или все слова, за исключением одного, или кроме двух).
1.4а. Существует параграф, содержащий три слова, не принадлежащие все одной и
той же фразе.
КОММЕНТАРИЙ. Отсюда следует непосредственно, что параграф состоит, по меньшей мере, из двух фраз.
Заметим, что формулировки аксиом 1.1-1.4 противоречат аксиоме 1.2, поскольку все четыре используют те же слова «слово» и «фразы», тогда как, из этой аксиомы, может быть только одна фраза, их содержащая.
Можно, следовательно, сформулировать следующую аксиому металитературы:
АКСИМОЫ НЕ ПОДЧИНЯЮТСЯ АКСИОМАМ.
1.4в. Каждый параграф состоит, по крайней мере, из одного слова.
КОММЕНТАРИЙ. «Да», «Нет», «э-э», «гм-м», которые, по аксиоме 1.3, не являются фразами, не могут, следовательно, только из себя образовать и параграф.
1.5. Существует не более одного параграфа, состоящего из трех слов, не принадлежащих всех одной и той же фразе.
КОММЕНТАРИЙ. Это означает, как и в аксиоме 1.2, единственность, здесь – параграфа.
Иначе говоря, если в параграфе использовали три слова, не принадлежащие все одной и той же фразе, их нельзя использовать снова в другом параграфе. Но предположим, что они принадлежат все той же фразе в другом параграфе? Это оказывается невозможно, исходя из данной аксиомы.
1.6. Если два слова одной фразы принадлежат некому параграфу, то все слова этой фразы принадлежат этому параграфу.
КОММЕНТАРИЙ. Без комментариев.
1.7. Если два параграфа имеют общее слово, то они должны иметь еще хотя бы одно общее слово.
КОММЕНТАРИЙ. Для того, чтобы выполнялась эта аксиома, нужно, следовательно, чтобы писатель, использующий в новом параграфе слово, уже фигурировавшее в предыдущем параграфе, ДОЛЖЕН БЫЛ в нем использовать также и другое слово, фигурирующее в предыдущем параграфе. Это ограничение является слабым, если слова – суть артикли, вспомогательные глаголы и т.д.; оно определенно является антифлоберовским в случае значимых слов (например, существительных или прилагательных).
(Смотри комментарий к теореме 1).
1.8. Существует по меньшей мере четыре слова, не принадлежащие одному и тому же параграфу.
КОММЕНТАРИЙ. Утверждается, что «текст», составленный из единственного параграфа, не заслуживает наименования «текста», а также, что язык (французский) содержит достаточное количество слов (по меньшей мере, четыре).
(Смотри также комментарий к 1.3).
В комментарии к аксиоме 1.7 мы не развивали всех следствий, которые можно вытянуть из этой аксиомы (и из других, уже приведенных аксиом); вот первая теорема, которую доказывает Гильберт:
ТЕОРЕМА 1. Две различные фразы из одного и того же параграфа имеют не больше, чем одно общее слово; два различных параграфа или не имеют ни одного общего слова, или имеют общую фразу и никакого другого общего слова вне этой общей фразы.
КОММЕНТАРИЙ. В самом деле, если два параграфа имеют одно общее слово, они должны иметь и еще одно (по аксиоме 1.7), но тогда эти два слова определяют фразу, и, по 1.1, эта фраза является единственной. Эти два параграфа имеют, следовательно, ровно одну общую фразу.
Мы возвращаемся, следовательно, к более флоберовской концепции. Повтор слова, уже использованного в предыдущей фразе, заставляет повторить всю фразу, это сильное ограничение: лучше не повторять слово, это намного более осмотрительно, и Флобер скрупулезно соблюдал эту аксиому.
Вторая группа аксиом (аксиомы порядка)
2.1. Если во фразе слово находится между двумя словами, взятыми в данном порядке, оно будет находиться между ними, и если их рассматривать в обратном порядке.
КОММЕНТАРИЙ. Тривиально.
2.2. Даны два слова одной фразы, существует по меньшей мере третье слово, такое что второе будет находиться между первым и третьим.
КОММЕНТАРИЙ. Вот утверждение, которое может поразить. Читателя просят подождать до комментариев к теоремам 3 и 7 для подробного освещения темы.
2.3. Из трех слов одной фразы, одно находится между другими двумя.
КОММЕНТАРИЙ. Если хорошо поискать, то можно найти в литературе несколько фраз, для которых эта аксиома не выполняется, как, например, в главе XCVIII Тристана Шенди.
2.4. Пусть даны три слова одного параграфа, не принадлежащие все вместе одной и той же фразе, и пусть дана фраза, не содержащая этих трех слов, но принадлежащая тому же параграфу. Если эта фраза содержит слово фразы, определенной по двум из этих слов, она всегда будет содержать общее слово с фразой, определенной по одному из этих слов и третьему слову.
КОММЕНТАРИЙ. Чтобы прояснить смысл этой аксиомы, вернемся к Гильберту, который формулировал ее также «более интуитивным способом: если прямая находится внутри треугольника, то она из него выходит».
Мы оставляем читателю задачу отыскать или сконструировать параграфы, соответствующие этой аксиоме. Гильберт доказывает затем несколько теорем, среди которых:
Теорема
3. Для двух данных слов фраза, где они
фигурируют, содержит по меньшей мере одно слово между
этими двумя.
и
Теорема
7. Между двумя словами одной фразы
существует бесконечное количество других слов.
Комментарий. Читатель, пораженный аксиомой 2.2, говорит себе, без сомнения, что он был совершенно прав. Чтобы преодолеть это удивление и понять теоремы, нужно просто допустить существование того, что, следуя образцу старой проективной геометрии, мы называем «воображаемыми словами» и «словами на бесконечности». Все фразы содержат бесконечное количество слов, из которых воспринимается только очень ограниченное число, другие же находятся на бесконечности или являются воображаемыми. Многие мыслители имели такое предчувствие, но не обладали четким знанием. Отныне в риторике станет невозможно не принимать во внимание эту основную теорему. Лингвист также сможет извлечь из нее пользу.
Аксиомы параллельности (в просторечии: Постулат Евклида).
Для данной фразы пусть слово не принадлежит этой
фразе; в параграфе, определенном этой фразой и этим словом, существует самое
большее одна фраза, содержащая это слово и которая не имеет никакого общего
слова с первой данной фразой.
Комментарий. Пусть фразой будет: «долгое время я ложится спать рано», а словом – «пробуждение». Оно существует в параграфе, из них состоящем, в одной и только одной фразе, содержащий слово «пробуждение» и не содержащей других слов фразы «долгое время я ложился спать рано», а именно: «Это представление сохранялось у меня в течение нескольких секунд по пробуждению». Первый параграф «В поисках утраченного времени» удовлетворяет, следовательно, по крайней мере, частично, постулату Евклида.
Мы оставляем читателю задачу перевести аксиомы конгруэнтности и непрерывности.
Можно было бы продолжить и дальше эту транспозицию. Любопытно, что при переходе к коническим сечениям, нам ничего не нужно переводить. Действительно, там мы находимся среди риторики, поскольку речь не идет ни о чем, кроме эллипсов, парабол и гипербол, фигур, хорошо известных писателю, хотя в наши дни эллипс будет редким, парабола неупотребляемой (вот уже почти две тысячи лет), а гипербола стала разменной монетой.